Чем отличаются вынужденные колебания от затухающих. Механические колебания
Тема: Затухающие и вынужденные колебания
Коэффициент затухания.
Амплитуда
и частота затухающих колебаний.
Логарифмический декремент затухания.
Добротность колебательной системы.
Апериодический процесс.
Собственные колебания реальной системы. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Коэффициент затухания.
Раньше мы рассмотрели собственные колебания консервативных (идеальных) колебательных систем. В таких системах возникают гармонические колебания, которые характеризуются постоянством амплитуды и периода, и описываются следующим дифференциальным уравнением
. (1)
В реальных же колебательных системах всегда присутствуют силы, препятствующие колебаниям (силы сопротивления). Например, в механических системах всегда присутствует сила трения. В этом случае энергия колебаний постепенно расходуется на работу против силы трения. Поэтому энергия и амплитуда колебаний будет уменьшаться, и колебания будут затухать. В электрическом колебательном контуре энергия колебаний расходуется на нагревание проводников. То есть реальные колебательные системы являются диссипативными .
Собственные колебания в реальных системах являются затухающими.
Чтобы получить уравнение колебаний в реальной системе необходимо учесть силу сопротивления. Во многих случаях можно считать, что при небольших скоростях изменения величины S сила сопротивления пропорциональна скорости
где r – коэффициент сопротивления (коэффициент трения при механических колебаниях), а знак минус показывает, что сила сопротивления противоположна скорости.
Подставив силу сопротивления в формулу (2), получим дифференциальное уравнение, описывающее колебания в реальной системе
Перенесем все члены в левую часть, разделим на величину m и введем следующие обозначения
Как и прежде величина ω 0 определяет частоту собственных колебаний идеальной системы. Величина же β характеризует диссипацию энергии в системе и называется коэффициентом затухания. Из формулы (5) видно, что коэффициент затухания можно уменьшить, увеличив значение величины m при неизменном значении величины r .
С учетом введенных обозначений получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний
Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний. Амплитуда и частота затухающих колебаний.
Можно показать, что при небольших значениях коэффициента затухания общее решение дифференциального уравнения затухающих колебаний имеет следующий вид
где величина, стоящая перед синусом называется амплитудой затухающих колебаний
Частота ω затухающих колебаний определяется следующим выражением
Из приведенной формулы (7) видно, что частота собственных колебаний реальной колебательной системы меньше частоты колебаний идеальной системы .
Г
рафик
уравнения затухающих колебаний приведен
на рисунке. Сплошной линией показан
график смещения S(t),
а штрихпунктирной линией показано
изменение амплитуды затухающих колебаний.
Следует иметь в виду, что в результате затухания не все значения величин повторяются. Поэтому, строго говоря, понятия частоты и периода не применимы к затухающим колебаниям. В этом случае под периодом понимают промежуток времени, по прошествии которого колеблющиеся величины принимают максимальные (или минимальные) значения.
Логарифмический декремент затухания. Добротность колебательной системы. Апериодический процесс.
Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний вводится логарифмический декремент затухания δ .
Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения амплитуд в моменты времени t и t + T , т.е. отличающихся на период .
По определению логарифмический декремент определяется следующей формулой
. (8)
Если вместо амплитуд в формуле (8) подставить формулу (6), то получим формулу, связывающую логарифмический декремент с коэффициентом затухания и периодом
. (9)
Промежуток времени τ , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации . С учетом этого получим, что , где N – это число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз. То есть логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз . Если, например, β =0,001, то это означает, что через 100 колебаний амплитуда уменьшится в е раз.
Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина θ, равная произведению числа 2π и отношения энергии W (t ) колебаний в произвольный момент времени и убыли этой энергии за один период затухающих колебаний
. (10)
Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, то заменив энергии в формуле (10) квадратами амплитуд, определяемых формулой (6), получим
При незначительных затуханиях , и . С учетом этого для добротности можно записать
. (12)
Приведенные здесь соотношения можно записать для различных колебательных систем. Для этого достаточно величины S , m , k и r заменить соответствующими величинами, характеризующими конкретные колебания. Например, для электромагнитных колебаний S→ q , m → L , k →1/C и r →R .
Апериодический процесс.
П
ри большом
значении коэффициента затухания β
происходит не только быстрое уменьшение
амплитуды, но и увеличение периода
колебаний. Из формулы (7) видно, что при
циклическая частота колебаний обращается
в нуль (Т
= ∞), т.е. колебания не
возникают. Это означает, что при большом
сопротивлении вся энергия, сообщенная
системе, к моменту возвращения ее в
положение равновесия расходуется на
работу против силы сопротивления.
Система, выведенная из положения
равновесия, возвращается в положение
равновесия без запаса энергии. Говорят,
что процесс протекает апериодически.
При этом время установления равновесия
определяется значением сопротивления.
Читателю предлагается самому посмотреть как влияют значения величин r , m , Т 1 и φ 0 на характер колебаний реальной колебательной системы.
Для этого необходимо навести курсор на диаграмму и двойным «клик» активизировать ее. Затем в открывшемся окне изменять значения величин, приведенных в цветных ячейках. По окончанию работы с графиком таблицу EXEL закрыть с сохранением или без сохранения данных.
Вопросы для самопроверки:
Изучение вынужденных колебании в электрическом контуре
Лабораторная работа >> ФизикаУстановившиеся вынужденные колебания описываются функцией (5). Напряжение на конденсаторе равно (6) т.е. вынужденные колебания происходят... вследствие чего свободные колебания затухают. Уравнение, описывающее свободные (ε =О) затухающие колебания в контуре...
Свободные и вынужденные колебания в контуре
Лабораторная работа >> Коммуникации и связьИ лабораторным стендом» 2) «Свободные колебания в одиночном контуре»3) «Вынужденные колебания в последовательном контуре» Выполнил студент... R1 в крайнее левое положение. Поосциллограмме затухающих колебаний измерили логарифмический декремент затухания. ; = ...
Вынужденные электрические колебания
Лабораторная работа >> ФизикаРешение однородного уравнения представляет собой затухающие собственные колебания , которые рано или поздно... времени устанавливаются вынужденные колебания с той же частотой, какова частота колебаний источника. Амплитуда вынужденных колебаний напря...
Вывести уравнение затухающих колебаний. Какой вид имеет график уравнения затухающих колебаний?колебания 1.1 Механические колебания : гармонические, затухающие и вынужденные колебания Колебаниями называются процессы, отличающиеся той...
Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся, случае сила сопротивления F * пропорциональна величине скорости:
(41.1)
Здесь r - постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила F * и скорость v имеют противоположные направления; следовательно, их проекции на ось x имеют разные знаки.
Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид
(41.2)
Применив обозначения: (ω 0 ‑ представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды при r = 0), перепишем уравнение (41.2) следующим образом:
(41.3)
При не слишком сильном затухании общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
(41.4)
Здесь a 0 и α - произвольные постоянные, - циклическая частота затухающих колебаний. На рис. 41.1 дан график уравнения затухающих колебаний. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки x.
Рис. 41.1.
В соответствии с видом функции (41.4) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты ω с амплитудой, изменяющейся по закону a (t ) = a 0 e ‑ β ∙ t . Верхняя из пунктирных кривых на рис. 41.1 дает график функции a (t ), причем величина a 0 представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение x 0 зависит, кроме a 0 , также от начальной фазы α: x 0 = a 0 ∙ cos α .
Скорость затухания колебаний определяется величиной β = r /2 m , которую называют коэффициентом затухания. Найдем время τ , за которое амплитуда уменьшается в e раз. По определению e ‑ β ∙ τ = e ‑1 , откуда β ∙ τ = 1. Следовательно, коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.
Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно .
Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм - логарифмическим декрементом затухания: .
Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания λ. β через λ, и T , можно закон убывания амплитуды со временем записать в виде:
(41.5)
За время τ , за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить N e = τ / T колебаний. Из условия (41.5) получается, что. Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в e раз.
Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина , называемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний N e , совершаемых системой за то время τ , за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
С ростом коэффициента затухания частота колебаний увеличивается. При β = ω 0 частота колебаний обращается в нуль, т. е. движение перестает быть периодическим. Следовательно, движение носит апериодический (непериодический) характер - выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.
Вынужденные колебания.
Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными .
В этом случае внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.
Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω 0 .
Если свободные колебания происходят на частоте ω 0 , которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы .
После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.
В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω 0 . Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.
Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону:
|
Амплитуда вынужденных колебаний x m и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω 0 и ω и от амплитуды внешней силы.
Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω 0 , возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом . Зависимость амплитуды x m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 41.2).
В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.
У колебательных систем с не очень высокой добротностью резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот.
Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.
Рис. 41.2. Резонансные кривые при различных уровнях затухания: 1 – колебательная система без трения; 2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: Q 2 > Q 3 > Q 4 .
Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы.
Затухающие колебания.
До сих пор мы рассматривали колебательное
движение тела так, как если бы оно происходило
совершенно беспрепятственно. Однако, если
движение происходит в какой либо среде, то эта
среда оказывает сопротивление движению,
стремящееся замедлить его. Взаимодействие тела
со средой представляет собой сложный процесс,
приводящий, в конце концов, к переходу энергии
движущегося тела в тепло,- как говорят в
физике, к рассеянию
или диссипации энергии.
Этот процесс не является уже чисто
механическим и его детальное изучение требует
привлечения также и других разделов физики. С
чисто механической точки зрения он может быть
описан путем введения дополнительной (кроме
возвращающей) силы, появляющейся в результате
движения и направленной противоположно ему.
Эту силу называют силой трения. При достаточно
малых скоростях движения она пропорциональна
скорости тела, и ее проекция на ось х
где г - некоторая положительная постоянная,
характеризующая взаимодействие тела со средой,
а знак минус указывает, что сила направлена в
сторону, обратную скорости.
Выясним сначала, как влияет наличие такого
трения на колебательное движение. Будем считать
при этом, что сила трения настолько мала, что
вызываемая ею потеря энергии тела (за время
одного периода колебаний) относительно мала.
Запишем теперь второй закон Ньютона для
Деля это уравнение на m и перенося все члены
уравнения в левую часть, получим
2. Вынужденные колебания.
Во всякой реальной колебательной системе
всегда происходят те или иные процессы трения.
Поэтому свободные колебания, возникающие в
системе под влиянием начального толчка, с
течением времени затухают.
Для того, чтобы возбудить в системе
незатухающие колебания, необходимо
компенсировать потери энергии, обусловленные
трением. Такая компенсация может производиться
внешними (по отношению к колебательной
системе) источниками энергии. Простейшим
случаем является воздействие на систему
переменной внешней силы f BH , изменяющейся со
временем по гармоническому закону
в системе возникнут колебания, происходящие в
такт с изменением силы. Эти колебания
называются вынужденными.
Движение системы
будет представлять собой, вообще говоря,
наложение обоих колебаний - собственных
система будет совершать лишь вынужденные
колебания.
Найдем уравнение вынужденных колебаний.
Для этого в уравнение (6.9) (второй закон
Ньютона) добавим вынуждающую силу (6.14):
Частота незатухающих колебаний. Полученное
уравнение называется уравнением затухающих
колебаний.
Оно переходит в уравнение
Деля (6.15) на m и вводя прежние обозначения,
получим
Это и есть уравнение вынужденных
колебаний. Поскольку вынужденные колебания
происходят с частотой Q, будем искать решение
уравнения (6.16) в виде
Для их нахождения воспользуемся методом,
который называется методом векторных
диаграмм,
удобным при сложении нескольких
то есть частота и период затухающих колебаний
В том случае, когда Р > со 0 (то есть движение
при достаточно большом трении), затухание
движения будет происходить монотонно без
колебаний. Такой процесс называется
апериодическим
.
(на некотором вспомогательном чертеже -
векторной диаграмме) как проекцию на
горизонтальную ось ОХ радиуса - вектора,
Колебательное движение реальной механической системы всегда сопровождается трением, на преодоление которого расходуется часть энергии колебательной системы. Поэтому энергия колебания в процессе колебания уменьшается, переходя в теплоту. Так как энергия колебания пропорциональна квадрату амплитуды, то постепенно уменьшается и амплитуда колебаний (рис. 53; х - смещение, t - время). Когда вся энергия колебания перейдет в теплоту, колебание прекратится (затухнет). Такого рода колебания называются затухающими.
Для того чтобы система совершала незатухающие колебания, необходимо восполнять извне потери энергии колебания на трение. Для этого надо воздействовать на систему периодически изменяющейся силой
где амплитудное (максимальное) значение силы, круговая частота колебаний силы, время. Внешняя сила, обеспечивающая незатухающие колебания системы, называется вынуждающей силой, а колебания системы - вынужденными. Очевидно, что вынужденные колебания происходят с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Определим амплитуду вынужденных колебаний.
Для упрощения расчета пренебрежем силой трения, полагая, что на колеблющееся тело действуют только две силы: вынуждающая и возвращающая Тогда, согласно второму закону Ньютона,
где - масса и ускорение колеблющегося тела. Но, как было показано в § 27, Тогда
где смещение колеблющегося тела. Согласно формуле (9),
где - круговая частота собственных колебаний тела (т. е. колебаний, обусловленных только действием возвращающей силы). Поэтому
Из уравнения (22) следует, что амплитуда вынужденного колебания
зависит от соотношения круговых частот вынужденного и собственного колебаний: при будет В действительности благодаря трению амплитуда вынужденных колебаний
остается конечной. Она достигает максимального значения в том случае, когда частота вынужденных колебаний близка к частоте собственных колебаний системы. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при называется резонансом.
Используя резонанс, можно посредством небольшой вынуждающей силы вызвать колебание с большой амплитудой. Подвесим, например, карманные или ручные часы на нити такой длины, чтобы частота собственных колебаний полученного физического маятника (рис. 54) совпала с частотой колебаний балансира часового механизма. В результате часы сами начнут колебаться, отклоняясь от положения равновесия на угол а 30°.
Явление резонанса имеет место при колебаниях любой природы (механических, звуковых, электрических и др.). Оно широко используется в акустике - для усиления звука, в радиотехнике - для усиления электрических колебаний и т. п.
В некоторых случаях резонанс играет вредную роль. Он может вызвать сильную вибрацию конструкций (зданий, опор, мостов и т. п.) при работе установленных на этих конструкциях механизмов (станков, моторов и т. п.). Поэтому при расчете сооружений необходимо обеспечивать значительное различие между частотами колебаний механизмов и собственных колебаний конструкций.
В технике распространен еще один вид незатухающих колебаний - так называемые автоколебания, отличающиеся от вынужденных тем, что у них потери энергии колебания восполняются за счет постоянного источника энергии, вводимого в действие на очень короткие промежутки времени (в сравнении с периодом колебаний). Причем этот источник «включается» в нужные моменты времени автоматически самой колебательной системой. Примером автоколебательной системы может служить часовой маятник. Здесь потенциальная энергия приподнятого груза (или деформированной пружины) вводится в действие посредством анкерного механизма. Другим примером может служить замкнутый колебательный контур с электронной лампой; с действием этой автоколебательной системы мы познакомимся позже (см. § 112).